Operaciones entre conjuntos

Relaciones de conjuntos

Las relaciones que se pueden dar entre conjuntos son: pertenencia, inclusión e igualdad.

Relación de pertenencia

El signo que representa la relación de pertenencia es E, que fue descubierto por el matemático y filósofo italiano, Giuseppe Peano (1858 –1932), quien es conocido por sus contribuciones a la Teoría de conjuntos.
En efecto, sea A un conjunto cualquiera y x un elemento, para indicar que x es elemento de A o simplemente que, x está en A se simboliza

verá en la sección 6.9; tampoco se da entre elementos. Por lo tanto, es incorrecto escribir x E x o A E A

Relación de Inclusión de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, esta relación se utiliza para indicar que el conjunto A es subconjunto del conjunto B, lo cual se escribe:

y se lee: A es subconjunto de B, A está incluido en B, A está contenido en B, B incluye a A.

Si A es un subconjunto de B y existen elementos de B que no están en A, entonces A es un subconjunto propio de B y se simboliza

Propiedades de la inclusión

Sus demostraciones son sencillas; basta con utilizar las propiedades las definiciones de inclusión y pertenencia, además, de las propiedades de cuantificadores. En efecto veamos, x E A Por hipótesis

Ejemplo 7.5: dados los conjuntos A={3,5,6,9,4}, B={3,4,7,9,6,5} y C={3,9,5,7,4,6,8,} ponga entre el paréntesis V o F si los siguientes enunciados son verdadero o falso, respectivamente y justifique el por qué de los falsos.

Según el ejemplo se puede observar que A es subconjunto propio de B y a la vez éste de C.

Relación de igualdad de conjuntos

La igualdad de dos conjuntos A y B denotada
A=B

se da cuando todos los elementos de A están en B y viceversa. Simbólicamente,

Esta equivalencia se conoce como axioma de extensionalidad. La igualdad de conjuntos intuitivamente dice: “dos conjuntos son iguales si y solo tienen los mismos elementos (no importa el orden)”. Tenga en cuenta que este concepto es diferente a decir: “dos conjuntos son iguales si y solo tienen la misma cantidad de elementos”.
Si algún elemento x de A no está en B o algún elemento x de B no está en A se dice que A es diferente de B y se simboliza

Ejemplo 7.6: dados los conjuntos
A={x/x es un número primo positivo menor que 8},

B={ x/x es un factor de 210}

¿A=B? Compruébelo.
A={2,3,5,7}

B={2,3,5,7}
Luego, los conjuntos son iguales

Clases de conjuntos

Conjunto finito

Es aquel conjunto cuya cantidad de elemento se puede contar; es decir, es aquel conjunto en que sus elementos se pueden nombrar o enumerar.
Ejemplo 7.9: A={x/x es un número entero mayor o igual que -3 y menor que 5}. Este conjunto está formado por 8 elementos. En efecto, A={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4}

Conjunto vacío

Existe un conjunto especial denominado “conjunto vacío” o “conjunto nulo” y algunos definen como un conjunto sin elementos. Este último concepto se presta para confusiones cuando se dice “conjunto sin elementos”; pues se sabe que un conjunto es una agrupación de objetos que cumplen una propiedad determinada.
Esta confusión se aclara defiendo el conjunto vacío como aquel en que ningún elemento cumple con la propiedad conocida como “regla de elegibilidad”.

No es correcto decir, “un conjunto vacío”; debe decirse siempre “el conjunto vacío” porque este conjunto es único.

Propiedades del conjunto vacío

Los siguientes ejemplos ayudan a conceptualizar el conjunto vacío:

Esta regla es muy importante:

Conjunto unitario

El conjunto unitario es aquel solamente tiene un elemento.
Los conjuntos A={x/x es un pontífice entre los años 1985 y 2005}={Juan Pablo II} y B={xN / x2–4=0}={2} son unitarios.

Conjunto binario

El conjunto binario es aquel que está formado por dos elementos.

Conjunto universal

Ejemplo: Dados los conjuntos U={1,3,5,7,9,11}, A={3,9,11}, B={2,5,7,9}, C={1,6} y D={1,7,11,5}, determine si U es conjunto universal respecto a los demás conjuntos.
En efecto, U es un conjunto universal respecto a los conjuntos A y D, pero no con respecto a los conjuntos B y C. ¿Por qué?

Conjunto infinito

Es aquel conjunto cuya cantidad de elemento no se puede contar; es decir, es aquel conjunto en que sus elementos no se pueden nombrar o enumerar. Son

Operaciones entre conjuntos

Las operaciones que pueden realizar con conjuntos son: la intersección, la unión, la diferencia, la diferencia simétrica y el complemento.

Intersección de conjuntos

La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos comunes de ambos conjuntos (sin repetir elementos), es decir, es el conjunto formado por todos los elementos repetidos y se denota

Se define como el conjunto formado por los elementos comunes de todos los conjuntos.
Simbólicamente,

Unión de conjuntos

La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos comunes y no comunes de ambos conjuntos (sin repetir elementos) y se denota

Si se tienen n conjuntos A1, A2, A3, . . ., An, la unión entre estos conjuntos denotada

Diferencia de conjuntos

La diferencia entre de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos no comunes del conjunto B respecto al conjunto A; es decir, los elementos que están en A, pero no están en B y se denota A-B

donde Ax y Bx son proposiciones abiertas equivalentes a x E A y x E B, respectivamente.
La representación gráfica mediante diagramas de Venn es:

Ejemplo: determine gráficamente y por simple inspección los conjuntos C-B dado que B={1,2,9,5}, C={2,4,6,9} y U={1,2,9,5,4,6,8,7}.
Por simple inspección C-B={4,6} y gráficamente vea figura 7.7.

Diferencia simétrica de conjuntos

La diferencia simétrica entre de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos no comunes de ambos conjuntos; es decir, los elementos que no están repetidos entre los conjuntos y se denota

donde Ax y Bx son proposiciones abiertas equivalentes a x E A y x E B, respectivamente; su representación gráfica mediante diagramas de Venn se ve en la figura 7.8